Архив задач олимпиады по математике и криптографии
Дисковый шифратор
На кодовом замке имеется круглый диск с нанесенными на равноотстоящих интервалах по его периметру числами от 1 до 12. Изначально диск установлен как на Рис.1. Замок откроется, если диск окажется повернутым на 30° относительно своего первоначального положения (Рис. 2). Для изменения положения диска имеется специальный стержень, который можно продеть через два любых диаметрально противоположных числа (например, через 1 и 7 как на Рис.3), а затем повернуть диск вокруг стержня на 180° (в результате диск окажется в положении, изображенном на Рис.4). Каким образом и за какое наименьшее число таких поворотов можно открыть замок?
При повороте диска на месте четных чисел вновь оказываются четные, а на месте нечетных – нечетные. Поэтому открыть замок нельзя.
Замечание. Здесь возможны и более "математизированные" рассуждения. Поворот диска вокруг стержня на 180° - это осевая симметрия диска относительно прямой, содержащей стержень. Будем эти осевые симметрии обозначать буквой S. В задаче требуется найти симметрии, композиция которых – поворот на 30°. Композиция двух осевых симметрий S1 и S2 относительно прямых, угол между которыми α – это поворот на угол 2α. Обозначая поворот буквой R, можем, таким образом, записать S1○S2=R2α. Композицией симметрии и поворота будет вновь симметрия (S○R=S), а двух поворотов, очевидно, снова поворот (R○R=R). Видим также, что симметрия меняет начертание цифр на "зеркальное" (см. переход от Рис.3 к Рис.4). Значит, чтобы диск оказался в положении, изображенном на Рис.2, симметрий должно быть четное число. Но каждая пара симметрий – это поворот, а композиция поворотов – это опять же поворот. Следовательно, композиция четного числа симметрий – поворот, причем на угол, кратный 60° (т.к. минимальный угол между прямыми – 30°). Поэтому повернуть диск на 30° не получится.
